要探索量子现象，我们必须离开熟悉的世界，进入希尔伯特空间这个抽象的领域。

量子物体在被观测之前拥有多重可能的未来，希尔伯特空间让物理学家得以探索这些可能性。

量子物体在被观测之前拥有多重可能的未来，希尔伯特空间让物理学家得以探索这些可能性。

图：Tommy Parket / Quanta Magazine

量子力学的核心，藏着几条关于如何使用这套理论的神圣规则。

其中第一条，粗略地说，是"你不可去设想普通物体此刻正穿梭于普通空间"。

相反，量子力学以一种极其精微的方式，预言一个物体在未来可能出现的所有方式。

要探索这些可能的未来，需要追踪一个完全不同的数学对象——一支叫作"矢量"的箭头，它指向一个辽阔而陌生的领域。

这些箭头并不指向位置。

"那是一个远比这抽象的空间，"加拿大滑铁卢圆周理论物理研究所的物理学家卢西恩·哈迪说。

它们"其实是指向可能性空间里的一个方向"。

这个可能性空间就叫希尔伯特空间，它是量子物理的主舞台。

早期的量子先驱们起初并未意识到，那套惊人地刻画了原子行为的深奥数学，其实已经离开了现实世界。

直到富有远见的数学物理学家约翰·冯·诺依曼，才辨认出并把量子世界定义为一个希尔伯特空间。

而一旦他做到了，探索希尔伯特空间的里里外外，就把物理学家引向了关于量子物理更深刻、更统一的理解。

下面就是冯·诺依曼量子物理第一诫的由来，以及该如何理解它。

什么是希尔伯特空间？

冯·诺依曼的"诫命"（或者说公理），是他用来理清 1920 年代背靠背发展起来的两种不同形式量子力学的方式。

先是 1925 年维尔纳·海森堡的"矩阵力学"：它用晦涩难懂的表格，以及后来表述中一长串无穷无尽的数字，来计算绕核电子跳到更高或更低轨道的几率。

次年，埃尔温·薛定谔推出了他的"波动力学"：它用波来追踪——比如说——一个粒子在空间某处被找到的概率。

尽管这两位物理学家描绘的图景看起来完全不同，它们却给出完全相同的预言。

海森堡和薛定谔提出了同一种理论的两个截然不同的化身。

但这个理论到底是什么？

这个问题让著名数学家大卫·希尔伯特着迷。

他把毕生大量精力投入到"把物理学重建在清晰公理的坚实基础上"。

1920 年代中期，他让冯·诺依曼开始思考这个问题。

1927 年，这位 23 岁的神童——在保罗·狄拉克洞见的基础上——用一套独著三部曲的论文解决了它。

数学家大卫·希尔伯特寻求一种能把量子力学不同形式统一起来的数学结构。

图：MacTutor

"这些想法具体是冯·诺依曼的，但那个灵感——为什么要公理化、以及公理化是为了什么——这是他从希尔伯特那里继承来的，"数学史家利奥·科里说。

这些论文为量子力学立下了规则，仔细定义了理论的核心对象以及它们如何行为。

冯·诺依曼证明，海森堡的"数字塔"和薛定谔的"波"是同一个实体的两种反映，正如 0.5 和 1/2 指示数轴上的同一点。

它们都代表量子力学的主角：量子态。

万物皆有状态。

一枚硬币可以是正面朝上或反面朝上。

一座落地钟的钟摆可以摆动到任意多个位置。

物理学的大部分工作，就是抓住一个物体的状态，并预言它将如何变化。

冯·诺依曼的量子规则让"状态"这个概念变得复杂起来。

在你观测一个量子物体之前，它并不具备一组固定的性质，比如一个特定的位置。

取而代之的，是一种量子力学独有的"可能性质的组合"——"量子叠加"。

一个叠加态会把粒子可能最终所在的所有位置组合在一起。

这些可能性可以精确而富有信息量：也许你 99% 的几率会在左边找到粒子，1% 的几率在右边找到它。

你知道该怎么下注，但在真正查看之前，你无法确知自己赢没赢。

冯·诺依曼把量子态呈现为一支叫作矢量的数学箭头。

这支箭头，穿过一个囊括了任何量子物体所有可能未来的空间，指向某个方向——这个空间就是希尔伯特空间。

想象一盏量子交通灯，它有三种可能的状态——红、黄、绿。

它的箭头存在于一个三维希尔伯特空间中，三条轴分别代表三种可能的未来颜色。

在灯被观测之前，它并没有颜色，而是一种可能颜色的混合。

于是它的箭头指向空间的中心区域。

箭头与某条轴（比如红轴）对齐得越近，灯亮红色的可能性就越大。

量子交通灯：箭头在三维希尔伯特空间里，红/黄/绿三条轴代表三种可能的未来颜色。

图：Mark Belan / Quanta Magazine

任何物体的状态——从一个电子到一个星系——都可以由这样一支箭头来刻画，它穿过这样的希尔伯特空间、指向某个方向。

这就是冯·诺依曼量子力学的第一条规则。

希尔伯特空间里发生什么？

一支箭头在希尔伯特空间里以两种方式之一移动。

冯·诺依曼的其余诫命规定了具体怎么动。

第一种可能对应观测之前发生的事。

随着世界影响物体、改变它的状态，箭头在希尔伯特空间中平滑地转动。

它可能更靠近绿轴——这让我们的交通灯更可能被测成绿色——也可能靠近红轴或黄轴。

关键在于，这一切都平滑而可预测地发生。

然后，如果你真的观测这个系统，矢量会瞬间、随机地"啪"地落到红、黄、绿三轴中的一条上。

它和哪条轴对齐得越多，就越可能落到那条轴而非其他轴，但它的命运终究不可预测。

假设它变成了绿色。

你会观测到一盏绿灯，而且在后续测量中它有 100% 的几率仍是绿色，因为箭头已完全与绿轴对齐。

量子叠加就此终结。

观测前，箭头在希尔伯特空间里平滑转动；

观测的一瞬间，它随机落到某条轴上（此处落到绿轴），叠加态坍缩为确定的结果。

图：Mark Belan / Quanta Magazine

什么性质定义了希尔伯特空间？

一个物体拥有的可能未来越多，它的希尔伯特空间就越大。

一个像硬币一样、只有两种可能未来的粒子，就是一个"量子比特"——量子计算机的计算基本单元。

它有一个二维的希尔伯特空间。

我们的三色交通灯有一个三维的希尔伯特空间。

但这只是开始。

一个自由漂浮的粒子可能出现在宇宙中的任何位置，所以它的希尔伯特空间必须横跨无限多个维度。

这个尺寸——无论是二维还是无限维——根据冯·诺依曼的规则，是希尔伯特空间唯一根本的特征。

轴是任意的、是我们想象出来的；

它们并非空间本身固有。

考虑一个电子。

它有一个状态、一支箭头，指向一个浩瀚的希尔伯特空间。

它的希尔伯特空间横跨所有可能的测量——能量、位置、动量等等。

如果你好奇电子可能在哪里，你就用代表可能位置的轴来标记这个空间。

如果你想知道粒子可能往哪里去，你就换一组轴——代表可能动量的轴。

无论你打算做哪种测量，底层的希尔伯特空间始终保持不变。

正是这种"随我们心意切割希尔伯特空间"的自由，让海森堡和薛定谔得以提出同一种理论的两个不同版本。

海森堡的图景本质上是放进一组轴、让它们绕着矢量旋转；

而薛定谔的图景正好相反：放进一组固定的轴、让矢量相对它们旋转。

它们是对同一批箭头、同一个希尔伯特空间的两种完全不同的数学视角。

内积：一束光直直照在箭头上，让它在轴上投下影子；

影子越长，箭头与该轴对齐得越多。

图：Mark Belan / Quanta Magazine

在 1927 年三篇论文的第一篇里，冯·诺依曼列出了定义这样一个空间的两条数学判据。

第一，它必须"完备"——不能缺少任何区域或点。

第二，你必须能计算一个状态与一条轴之间的对齐程度；

你可以想象一束光直直照在箭头上，让它在轴上投下一条影子来直观理解（影子越长，箭头与该轴对齐得越多）。

这个空间必须允许这种运算，它叫内积。

任何具备这两个特征的空间，无论其大小或来源，都是一个希尔伯特空间。

"这是创立我们如今所称希尔伯特空间量子力学的一大步，"伦敦政治经济学院的物理哲学家米克洛什·雷代伊说，"这是数学如何发生推广与抽象的一个漂亮范例。

"

冯·诺依曼把这些抽象空间称为"希尔伯特空间"，是因为他的导师希尔伯特在 20 世纪头十年里，是第一个探索特定的无限维空间的数学家。

希尔伯特的工作依赖于这些空间"完备"且"有内积"，但他并没有把它们想成更一般的一类空间的实例，直到他的门生把它们归并在一起。

这位年长的数学家，若得知自己的名字被安到了这个新的数学结构上，或许会惊讶。

"冯·诺依曼博士，说到底，我真的很想知道这些希尔伯特空间究竟是什么，"希尔伯特据传在 1929 年的一次讲座上这样问。

约翰·冯·诺依曼为量子力学建立了一个底层结构，其中涉及箭头在一个抽象的希尔伯特空间里移动。

图：US Department of Energy

希尔伯特空间是真实的，还是只是抽象？

量子力学诞生一个世纪后，这套理论让物理学家陷入了一个尴尬的处境。

我们生活在一个物体穿过三维物理空间、位置不断变化的世界里。

但我们最根本的理论却发生在别处——冯·诺依曼那个浩瀚的可能性领域里。

这对我们世界的真实性，或者对希尔伯特空间的真实性，意味着什么？

对约翰斯·霍普金斯大学的哲学家兼物理学家肖恩·卡罗尔来说，答案很明确。

如果量子力学是自然的根本理论，那么希尔伯特空间就应当被视作现实的根本舞台——他在 2022 年的一篇论文中如此论证。

他的一条研究线索，正是要从这个令人晕头转向、囊括了宇宙一切可能形态的希尔伯特空间中，蒸馏出我们熟悉的世界。

另一些物理学家则采取更务实的态度。

普林斯顿大学的物理学家乔纳森·索尔斯说，希尔伯特空间是一个方便好用的数学构造，它在描述许多量子系统时极其有用——但不是全部。

他所属的一个研究群体，正在寻找一种能把时空结构当作量子对象来描述的数学构造。

这样一种理论，是回答"黑洞核心处到底发生了什么"这类大问题的先决条件。

追问这些问题的物理学家，最近把目光投向了一个更加抽象的空间，它似乎格外契合他们的需要。

这种空间由"你能对希尔伯特空间做的事"组成——比如用不同方式切割它、或者把一块切片旋转成另一块。

在这个舞台上，他们发现黑洞似乎变得没那么神秘了。

这种"超空间"，如今被称为冯·诺依曼代数。

冯·诺依曼本人曾帮忙发展它，作为对希尔伯特空间某些困扰他的逻辑不自洽之处的可能补救。

"我想做一个也许显得不道德的坦白：我不再相信希尔伯特空间了，"他在 1935 年的一封信里写道，当时他正在探索代数的好处。

至于索尔斯，他并不认同冯·诺依曼"一个空间统领一切"的渴望。

他很乐意用最适合他所研究量子对象的那个数学构造——往往是希尔伯特空间，有时是冯·诺依曼代数，偶尔甚至可能是过去一个世纪数学家们炮制出来的许多其他空间之一。

"这类东西有一整个动物园，"他说。

约翰·冯·诺依曼的量子五诫

1. 希尔伯特空间中的一支箭头，应代表任何物体的量子态。

2. 改变物体，应使箭头在希尔伯特空间中平滑转动，以代表一个新的状态。

3. 希尔伯特空间中不同的轴，应反映物体不同的可能性质集合。

4. 箭头投射到一条轴上的影子，应编码该可能性在测量发生时得以实现的几率。

5. 测量之际，箭头应随机且瞬间地跳转、与代表观测结果的那条轴对齐，物体由此获得一个完全确定的性质。

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