引言

你每天醒来，睁眼，看见房间；

伸手，摸到杯子；

耳朵捕捉到窗外的鸟鸣。

这些动作如此自然，你甚至不会多花半秒钟去想它们意味着什么。

你看一眼温度计，知道今天几度；

你瞥一眼手表，知道现在几点。

你一直在“测量”，用你的感官，用你的工具，用你的仪器。

但有一个问题，物理学两百年来都不敢轻率地

回答：当你完成一次“测量”的时候，你到底对这个世界做了什么事？

在日常语境里，测量就是“看看它怎么样”。

你不会觉得看一眼窗外跟撞碎一堵墙有什么相似之处。

但在量子力学里，这两个动作的边界被彻底抹掉了。

测量，不是一次被动的“观看”。

它是一种主动的、暴力的、不可逆的干预,你盯着一个粒子看，它就因为你盯着它这件事，而变成了另一个东西。

听起来像在吓唬你。

但薛定谔、玻尔、海森堡、冯·诺依曼......这些名字刻在教科书封面上的大脑——都在这个谜题面前站了很久，沉默了很久。

今天，我们不绕圈子。

我们直接走到那个谜题面前，问一句：到底什么是“测量”？它为什么能把一个无处不在的粒子，摁成一个“就在这里”的粒子？

正文

测量（或观察）的一般规则R要求，量子系统的不同方面能被同时放大到经典水平，而之后系统应当选取的不同状态必须永远是正交的。

对于一次完整的测量，可选取的不同选择的集合组成正交基矢量的集合，表明希尔伯特空间中的每一矢量都能按照它们线性地表达出来。

对于一个只包含单粒子的系统的位置测量，这些基矢量定义了我们刚刚考虑的位置轴。

对于动量，它是定义为动量轴的不同的集合，对于不同种类完整的测量，还相应有其他的集合。

测量之后，该系统的态跃迁到这些测量所决定的集合的一个轴上去,—其选择只由概率来制约。

没有任何动力学定律能告诉我们大自然会在已挑出的轴中选择哪一个。

其选择是随机的，其概率为概率幅的平方模。

ps: “正交”这个词听起来冷冰冰的，像一个数学老师写在黑板上的板书。

但你可以用耳朵来理解它。

想象你在听一场交响乐，定音鼓的轰鸣和长笛的颤音同时响起。

你的大脑有一种不可思议的能力：它能把“鼓声”和“笛声”分到两条完全独立的听觉轨道上,鼓声再响，也不会污染你对笛声的判断；

笛声再尖，也不会干扰你数鼓点的次数。

鼓的声波和笛的声波，在听觉空间里就是“正交”的。

量子测量做的正是这件事：它把那个无处不在、如云如雾的波函数，强行按照某些“正交轨道”拆开，然后只保留其中一条，把其余的全部扔掉。

你每天都在做类似的事。

你从嘈杂的人群中辨认出老朋友的声音，你从混乱的货架上认出你要买的那包茶叶，你从满屏的数据里扫出一个异常值。

所有这些动作，本质上都是“从无限可能性中截取一条轴”。

区别只在于，你的日常生活里没有概率幅的平方。

而量子力学里，有。

假定我们对一个具有态｜Ψ>的系统进行了完整的测量，所选择的测量的基为：

｜0>,|1>,|2>,|3>,......

由于它们组成了完备集，任何态矢量，特别是｜Ψ>可以按照它们而被线性地表示为：

｜Ψ>=Z0|0> + Z1|1> + Z2|2> + Z3|3>+...

在几何上，分量Z0，Z1，Z2，...是矢量｜Ψ>的在不同的轴｜0>,|1>,|2>,...上的正交投影的大小的测度（如图）。

我们能将复数Z0，Z1，Z2，...解释作所需要的概率幅，这样它们的平方模就提供了在测量后该系统处于相应的｜0>,|1>,|2>,...等态的不同概率。

然而，这还不完全，因为我们还未固定住不同的基矢量|0>,|1>,|2>,...的“尺度”。

为此，我们必须指明它们在某一种意义上是单位矢量（亦即具有单位“长度”的矢量），用数学的术语，它们组成了所谓的正交基（相互垂直的并归化为单位矢量）。

如果｜Ψ>也被归一化为单位矢量，那么所需的相应的概率｜Z0｜的平方，｜Z1｜的平方，...如果｜Ψ>不是单位矢量，则这些数就分别和所需的概率幅成比例。

实际的幅度就为：

Z0/｜Ψ｜，Z1/｜Ψ｜，Z2/｜Ψ｜，等等，

并且实际概率为｜Z0｜的平方/｜Ψ｜的平方，｜Z1｜的平方/｜Ψ｜的平方，｜Z2｜的平方/｜Ψ｜的平方，等等，

这里｜Ψ｜是态矢量｜Ψ>的“长度”。

每一态矢量都具有正实数的“长度”（除了O具有零长度），而且如果｜Ψ>为单位矢量则｜Ψ｜=1。

你可能觉得“归一化”这个步骤有点技术性，像是在做家务,把东西整理得整整齐齐，加起来等于1。

但它在物理上有一个非常直白的含义：大自然只关心比例。

你的波函数乘以2，再乘以3，再除以π，只要不把它乘成零，它描述的物理状态完全不变。

这就像你描述一个赌徒的运气，你说“他赢的概率是0.6”还是“他赢的概率是60%”，说的是一回事，只是尺子不同。

归一化就是把你手里的那把尺子统一成“总长度为1”的标准尺。

这样一来，所有可能的概率加起来刚好等于1——世界必须有一个结果，不能什么都没有，也不能什么都同时是结果。

完整测量是一种非常理想的测量。

例如，一个粒子的位置的完整测量需要我们能在宇宙中的任何地方以无限精度将该粒子定位！一种更初等的测量是我们简单地问是或非的问题，譬如：“该粒子是处于某一根直线的左边或右边？”或“该粒子的动量是在某一范围内吗？“等等。

是或非的测量真正的是测量的最基本类型。

例如，人们可以摘用是或非测量把粒子的位置或动量收缩到任意小的范围。

假定是或非测量的结果为是，那态矢量必须在希尔伯特空间的”是“的我称之为Y的区域内。

另一方面，如果测量的结果为非，那态矢量就在希尔伯特空间的”非“的我称之为N的区域内。

区域Y和N是完全相互正交的，任何属于Y的态矢量必须和属于N的任何矢量正交，反之亦然。

此外，任一态矢量都能以唯一的方式表达成分别来自Y和N的两个矢量之和。

用数学的语言讲Y和N是相互正交互补的。

这样｜Ψ ｜可唯一地表达成：

｜Ψ>=｜ΨY>｜ΨN>,

这里｜ΨY>属于Y，而｜ΨN>属于N。

|Ψ Y>称为态｜Ψ>在Y的正交投影。

相应地，｜ΨN>为｜Ψ>在N上的正交投影，如图。

在测量时，态｜Ψ>跃迁并成为（比例于）｜ΨY>或|ΨN>。

如果结果为是，则它跃迁到|ΨY>;如果为非，则跃迁到|ΨN>。

如果｜Ψ>是归一化的，则发生这些的相应概率为这些投影的态的长度平方：

｜Ψ Y｜的平方，｜ΨN ｜的平方。

如果｜Ψ>不是归一化的，我们必须将这些表示式除以｜Ψ ｜的平方。

“勾股定理”，｜Ψ ｜的平方+｜ΨY ｜的平方+｜Ψ N｜的平方断言，这些概率之和为1，正如所预想的那样。

请注意，从｜Ψ>跃迁到｜ΨY>的概率由投影中的长度平方的减少的比所给出。

“是或非”的测量，听起来像考试里的判断题,这道题是对还是错，你只需要在括号里打一个钩。

但在量子世界里，这种“判断题”的威力远超你的想象。

你可以连续地问：“它在左边吗？”“它在更左边吗？”“它还在更左边吗？”——每一问都是一个是或非，但连续几十上百个是或非之后，你就能把一个弥散在整个实验室的波函数，挤压到一根头发的宽度之内。

这就像你在玩一个“二十个问题”的游戏，只不过你问的每一个问题都会强行改变答案本身。

在实际应用中，这种“投影测量”几乎是所有量子技术的核心操作。

量子密钥分发协议（比如BB84）的本质，就是随机地选择不同的“是或非”问题来询问光子，然后比对双方的答案。

如果窃听者中途插了一手，他必然会在某一次“是或非”的回答中留下痕迹，因为他不知道应该用哪一组正交基来做投影。

可以说，每一次你通过网银转账时背后那套加密体系的“量子版本”，其安全性的根基就是这一条规则：选错基，就暴露。

关于作用于量子系统的“测量动作”还有最后一点要弄清。

不管对于任何态，譬如态｜x>总存在一个可在原则上进行的是或非测量。

如果被测量的态是｜x>,其答案则为是；

如果垂直于｜x>则为非。

这样上面的区域Y可包含任何选定的态所有的倍数。

这似乎隐含有很强的意义，态矢量必须是客观存在的。

不管物理系统的态是什么，我们可称之为｜x>。

存在一种原则上可湿性的测量，在此测量下｜x>为唯一的（只差一个比例系数）肯定得到“是”的结果的态。

这种测量对于某些态｜x>也许是极其困难，甚至在实际中是“不可能”实现的。

但是，根据这个理论，这样的测量在原则上能实现的事实，将会在之后产生某些惊人的推论。

“原则上可实现”这句话，是物理学家的一种特殊修辞。

它听起来像一句免责声明,理论上能行，但实际做不了。

但它真正的分量恰恰相反。

当量子力学的创始人之一冯·诺依曼证明：对于任意一个态｜x>，都存在一种测量能够唯一地确认它，他其实是在说：希尔伯特空间里的每一个点，都是“可被单独询问”的。

这就意味着，量子系统的客观性不是一种哲学信仰，而是理论结构强制要求的。

你可以在某一次实验中选择忽略某个态，但这个态依然在那里，依然有资格被一种专门为它设计的测量所“指认”。

这种“原则上”的承诺，在量子态层析成像（Quantum State Tomography）中变成了每日操作：实验物理学家通过反复测量大量相同的量子系统，反推出那个初始的｜Ψ>长什么样。

没有这条“原则上能测量任何态”的保证，整个量子信息实验室的工作流程就失去了数学根基。

结尾

所以，你看见的房间、你摸到的杯子、你听到的鸟鸣，所有这些日常的“测量”，在量子力学的规则R看来，都是同一种动作的无数个版本。

你每一次判断，都在某个希尔伯特空间里做了一次投影；

你每一次确认，都在那个概率幅的平方中凝固了一个结果。

你没有意识到的是，你活在一个“连续测量”的世界里。

温度计、钟表、手机屏幕上的小红点——它们都在替你做投影。

每一次读出数据，都是一个量子态从“可能是”跳到“就是”的瞬间。

这个世界没有给你任何动力学方程来解释为什么是A而不是B跳出来，它只给了你一个概率。

规则R没有告诉你答案。

它只告诉了你：答案会出现，而且一旦出现，其他所有可能性就永远消失了。

当你下次再测一次体温、再看一眼表、再按一次开关，你不妨多停一秒钟。

想象在那看不见的希尔伯特空间里，你那条代表着无限可能性的矢量，正在被你的目光压低、折叠、投影到一条窄窄的轴上。

在你得到读数的那一瞬，无数条“可能读数的世界线”同时熄灭，只有一条活了下来。

测量，是量子力学留在现实世界里的那个脚印。

它告诉你：这个世界，不是一个等着你去看的故事。

它是一个你去看一眼，就会立刻改写的故事。

本文部分引用Roger Penrose的《The Emperor‘s New Mind》，部分是自己的解读。

无任何商业用途。

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