引言

编者按：这仍然是一篇无聊的文章，但是我还是要记下来。

因为这无聊的背后，是我们人类这种碳基生物，拿着干瘪的笔和纸，硬生生要把宇宙底层的密码抠出来的执着。

真理本来就不常是美丽的，它往往极其枯燥，极其倔强。

科幻片和科普书里喜欢讲量子纠缠、平行宇宙、时间旅行，那些很刺激、很好看。

但真实的量子力学是什么？是复杂的复数 q=z/w、是枯燥的公式、是让人头秃的黎曼球面。

这就像看惯了武侠小说里的绝世武功，突然让你去看牛顿的三大定律，你会觉得“这也太无聊了”。

但正是这种“无聊”，剥去了所有浪漫的滤镜，把宇宙最真实逻辑摆在了我们面前。

我还是不知道为什么写它，但还是忍着枯燥一字一字码出来了。

好了，从提出问题开始吧！

我们常常听说量子力学充满了不确定性，只能给出概率，无法给出确切答案。

但这里有一个极其反直觉的疑问：如果态矢量仅仅是我们“不知道”的遮羞布，那为什么电子在被测量前，它的自旋方向好像是客观存在的？更让人毛骨悚然的是，如果你不知道一个电子的自旋态是什么，你根本无法在不破坏它的前提下，把它完美复制出来！这就像是宇宙在暗中规定：你只能观测，不能抄袭！

更诡异的是，不仅是电子，连光也在这里面掺了一脚。

当你戴上偏振太阳镜，旋转镜片时，光明明穿过去了，又为什么会被挡死？当光子的“自旋”（即偏振）撞上那个又抽象又完美的几何体——黎曼球面时，那些看似随机的概率突然变成了一幅精确的几何图画！态矢量到底是纯粹的数学工具，还是宇宙中最硬核的客观实在？让我们带着这些疑问，从电子的自旋开始，一路解密到光子的偏振之谜。

量子态的客观性和可测量性

尽管我们在正常的情况下只能为实验的结果提供概率的这个事实，关于量子力学的态似乎有某些客观的东西。

人们经常断言，态矢量只为了方便描述“我们已知”的物理系统，或者，态矢量也许实际上并不描述一个单独的系统，而仅仅是提供大量制备好的类似系统在“系综”方面的概率信息。

在关于量子力学告诉我们物理世界的实在性方面，我觉得这种意见过分胆怯。

大家一听到“量子力学是概率的”，就以为它是个“抛硬币”的赌场游戏。

但很多人没想过，哪怕概率是随机的，背后是不是也藏着一个“客观的事实”？咱们之前的说法有点太怂了：觉得态矢量只是咱们脑子里的“记事本”，或者是一大堆电子的“平均成绩”。

但告诉你，这其实是个大误会——电子身上肯定藏着什么东西，是实实在在的，不管你看不看它，它都在那儿！

有关态矢量的“物理实在性”的一些谨慎或怀疑，是由于按照该理论，物理上可测量的东西严格受到限制这个事实引起的。

让我们考虑上述的电子自旋态。

假定自旋态刚好是｜a>,但是我们不知道这些，也就是说我们不知道电子自旋的方向a。

我们能否用测量来决定此方向呢？不，我们不能。

我们最多能做的只是提取“部分”信息——就是简单的是或非问题的答案。

我们可以选取空间中的某个方向β并在该方向上测量电子自旋。

我们得到的答案非是即非，但在此之后，我们就丧失了关于原先自旋方向的信息。

答案为是的话，我们知道现在这个态和｜β>成比例；

答案为非的话，则现在的态在和β相反的方向上。

没有任何一种情形告诉我们测量之前态的方向a，它仅仅是给出了关于a的某种概率的信息。

这里有个极度抓狂的事情！电子明明原本朝向某个特定的“方向a”，但你不能直接测出它是哪个方向！你拿个尺子去量它，它只会回答“是”或者“不是”。

而且最要命的是，你只要去测了，它就“变”了！一旦你测完，它就变成了你手里尺子的方向。

你就像个闯入黑屋子的贼，不仅没能看清它原来的样子，反而因为开了灯，把电子原本的模样给彻底弄丢了！这简直太气人了！

另一方面，似乎有某种完全客观的关于方向α的东西，电子在测量之前“刚好沿着这个方向自旋”。

由于我们也许选定了在方向α上测量电子的自旋——而电子必须肯定地给出的答案，如果我们刚好猜中了的话！无论如何，电子的自旋态中储藏着电子实际上实际上必须给出的这个答案的“信息”。

虽然你测不出它的原本方向，但你不能否认它原本就是朝那个方向转的！就好像你知道手里有张底牌是A，但你摸不到它，而如果你刚好猜它是一张A，它就会“秒变”A！这说明，电子脑子里其实是储存了正确答案的，它就看你猜不猜得到。

它虽然不把底牌亮出来，但底牌永远是客观存在着的！

我似乎觉得，在按照量子力学来讨论物理实在的问题时，我们应该将什么是“客观的”和什么是“可测量的”区别开来。

在对一个系统进行实验时，不能准确地（除了比例系数外）断定它处于何态，也就是说系统的态矢量的确是不可测量的。

但是，态矢量似乎的确（又是除了比例系数外）是系统的完全客观的性质，它为人们可能进行的实验的结果所完全表征。

在诸如电子的半自旋的单独粒子的情形，因为它仅仅断言存在电子自旋被精确定义的某方向，即便也许我们不知道这个方向，这种客观性也不是不合理的。

（然而，以后我们会看到，对于更复杂的系统，这个“客观的”图像会变得更奇怪得多——甚至对于仅仅包含一对半自旋粒子的系统而言也是如此。

）

咱们得把“客观存在”和“能测出来”这两件事分开！我家里藏了一百万，我根本不知道在哪个抽屉里，但它就是客观存在着的。

电子的状态也是一样，你测不出它的全貌，但这不代表它不存在。

恰恰相反，它是一个非常客观的“藏宝图”！只不过，对于单个电子还算好理解，要是以后面对一堆纠缠在一起的粒子，这张“藏宝图”的诡异程度绝对会让你惊掉下巴，准备好脑洞吧！

但是，在电子自旋被测量之前它毕竟必须处于一个物理上定义的态吗？在许多情形下，它没有必要。

因为它自身不能被认为是一个量子系统，物理态一般地必须认为是一个和其他大量粒子纠缠在一起的电子的描述。

然而在特殊情形下，可以考虑电子本身（至少就其自旋而言）。

按照标准的量子理论，在这种情况下，譬如它的自旋的方向预先（也许未知的时刻）被测量过之后的一段时间内没受到干扰，那么电子就具有完全客观的定义好的自旋方向。

你可能会问：还没测它，它到底算不算一个“确定的态”呢？大多数时候，电子根本不是个独行侠！它是和别人手拉手纠缠在一起的，是个大家族。

但是！如果你特意把它孤立起来，只要没人拿尺子去干扰它，在一段安静的时间里，这个电子绝对拥有一个板上钉钉、完全客观的自旋方向！它就像个独自待在房间里的游戏角色，它的状态早就在后台写好了！

复制量子态

电子自旋态的客观性以及不可测量性阐释了另一个重要事实：不能在使原先的态不被触动的情形下将其复制。

因为假定我们能对一个电子的自旋态｜α>进行复制。

若能复制一遍，则能两遍多遍地复制。

结果的系统会在一个定义得非常好的方向上具有大的角动量。

可由宏观测量把这个方向｜α>确定下来。

这就违反了自旋态｜α>的基本的不可测量性。

这是全宇宙最霸道的“防盗法”！既然我们不能摸清它的全部底细，那我们就绝对不能“复制”它！如果你真要复制它，那相当于把它身上的信息“抄”了一份，抄多了自然就泄密了。

要是能复制，全世界学物理的就不用发愁了，直接多克隆几个一测，就能猜出它原本的方向了。

宇宙为了防止你偷看底牌，直接出台了“禁止拷贝”的法令！

然而，如果我们准备去破坏原先的态，则复制便成为可能。

例如，我们有一处于未知的自旋态｜α>的电子和另一处于另一个自旋态｜γ>的中子。

将它们交换，使中子自旋态为｜α>而电子自旋态为｜γ>是完全合法的。

我们所不能的是复制｜α>。

（除非我们预先知道｜a>实际上为何态！）（还可参阅Wooters and Zurek 1982）

那如果想拷贝怎么办？答案很简单：你得先把原版给弄死！比如你可以拿电子和中子玩个“灵魂互换”，电子变成中子，中子变成电子。

这种“交换”是合法的。

但你要明白，这叫“调包”不叫“复印”！你如果不知道它的底牌，你做不到既把原版完好无损地留着，又能凭空多出一个一模一样的新版来。

这就是“不可克隆定理”的恐怖之处！

我记得我们讨论过“远距运送机器”。

这机器，原则上依赖于在遥远的行星上有可能拼装出一个人的身体和大脑的复制本。

一个人的“所知所闻”可以依赖于一个量子态的某些方面，这是一个迷人的猜想。

若果真如此，则量子力学禁止我们去复制“所知所闻”而不破坏原先的态。

远距离搬运的“矛盾”可望以这种方式得到解决。

量子效应和大脑功能的可能关联将在之后的文章中再写。

这招太厉害了！大家看过电影里的“远距传送”吗？把你在火星重组。

但那怎么解决“灵魂”问题呢？如果你把一个人的意识储存在量子态里，想把这个人瞬间传过去，你会发现，量子力学根本不允许你复制他的灵魂！你只能把原本的状态破坏掉，才能在新地方造出来。

也就是说，传送人必须把原来的那个人“杀死”，然后在新地方“复活”！这个逻辑既恐怖又完美，搞不好大脑真的和量子态有关呢！

光子自旋

现在让我们继续考虑一下光子的“自旋”以及它和黎曼球面的关系。

光子具有自旋，但是因为它们总是以光速运动，人们不能将自旋认为是围绕于一个固定点；

相反的自旋轴总在运动的方向。

光子自旋称之为极化，这就是“偏振片”太阳镜的行为所根据的现象。

把两块偏振片重叠在一起并透视之。

一般地讲，你会发现有一定量的光透过去。

现在使其中一块不动而旋转另一块，通过的光量会发生变化。

在一个方向上，穿透的光达到最大，第二块偏振片实际上并没有减少穿透的光量；

在与此垂直的方向上，第二块偏振片可使通过的光量减少到零。

光子也是个“自旋玩家”，只不过因为它跑得太快了，它没有固定的轴，它的自旋（也就是偏振）全是顺着它飞行的方向拧着的！我们戴的偏振太阳镜，其实就是个“量子筛子”。

你把两块镜片叠起来拧一下，光线会变来变去。

你转到一个角度，光全过去；

再转到垂直的角度，光全被堵死。

这背后，就是光子被偏振片“审问”时给出的答案！

按照光的波动图像最容易理解所发生的现象。

在这里我们需要用麦克斯韦的光波的震动电磁场描述。

下图中画出了平面偏振的光。

电场在一个称为极化面的平面上振动，电磁场相互共振。

每一块偏振片让极化面和偏振片结构相平行的光通过。

当第二块偏振片的结构和第一块指向一致时，所有通过第一块偏振片的光就会通过第二块偏振片。

但是，当它们结构的方向相互垂直时，第二块偏振片就将通过第一块偏振片的光全部阻拦住。

如果两块偏振片的指向夹角为ψ时，则第二块偏振片让

cos的平方ψ

部分的光通过。

用经典波动的模型来看（就是麦克斯韦的老图），光像蛇一样在抖。

偏振片就像一个只留一条缝的栅栏。

光抖动的方向和栅栏平行，它就钻过去了；

抖动的方向和栅栏垂直，它就撞死在栅栏上。

当两块栅栏夹角是某个角度时，只有一部分可以挤过去，而这个比例恰好就是夹角的余弦平方（cos²ψ），数学就这么精准！

在粒子表像中，我们应该把每一单独光子认为是具有偏振的。

第一块偏振片的行为像一个偏振度测量器。

如果光子的确在一个合适的方向偏振，它就给出是的答案，并让光子通过。

如果光子在与此相垂直的方向偏振，则答案为非，光子就被吸收。

（注意在希尔伯特空间中的“正交”并不对应于通常空间中的“相交成直角”！）假定光子通过了第一块偏振片，则第二块偏振片就会问相应的问题，但是对于某个其他的方向。

如果两个方向的夹角为ψ ，我们现在就有了cos的平方ψ作为已经通过第一块偏振片的光子通过第二块偏振片的概率。

换成粒子角度看，偏振片就是一个“量子考试官”！它问光子：“你是在我这个方向上偏振吗？”光子回答“是”就放行，回答“不是”就被吞掉。

这里要注意了，在这个极微观的抽象空间里，所谓的“正交”（垂直）根本不是什么空间里的直角！这叫“希尔伯特空间”里的矛盾，微观粒子只认数学上的“对立面”，不认空间里的90度！

黎曼球面和这些有何相干呢？为了得到偏振态的全部复数系列，我们必须考虑圆的和椭圆的偏振。

下图画出了经典波动的情形。

圆偏振时电场旋转，而不是振荡。

磁场仍然和电场成直角并同步地旋转。

椭圆偏振可堪称旋转和振动的结合，而描写电场的矢量在空间画出一个椭圆。

在量子描述中，每一单独光子允许这些不同极化的方式——光子自旋的态。

你还记得之前那个神秘的“黎曼球面”吗？光子也跟它有一腿！别以为光只会在直线上傻傻地抖。

它还会像螺旋桨一样“左旋”、“右旋”，甚至像个歪着身子滚动的轮胎一样“椭圆旋转”！这些复杂的旋转状态，每一个对应一个数学描述，而它们全部都能画在咱们之前说过的那张球面地图上！

如何在黎曼球面上将所有这些可能性表示出来呢？想象一个垂直向上运动的光子。

现在北极代表右手自旋的态｜R>,这表明光子通过时电场矢量以反时针方向绕着垂直的轴旋转（从上面看）。

而南极代表左右自旋的态｜L>。

（我们可以把光子想象成像来复枪子弹一样自旋，或事右旋或是左旋。

）一般的自然态｜R> +q|L>是这两种态的复线性组合，它对应于黎曼球面上标出的一点。

为了求出q和偏振椭圆的关系，我们首先取q的平方根p，然后在里面球面标出p而不是q。

咱们把光子想象成一颗向上飞的来复枪子弹。

在黎曼球面上，最顶端的北极就是“右旋子弹”，最底部的南极就是“左旋子弹”。

平时光子的状态是个“左右混合体”，在球面上就是某个点q。

但这里有个让人抓耳挠腮的数学魔法：你不能直接拿q这个点去画光子的椭圆方向，你必须先对q开个“平方根”，得到一个新数p，然后再把p标在球面上，那个椭圆才真正显现出来！

考虑通过球面中心的一个平面，该平面垂直于连接标上p的点和球心的直线。

此平面和球面的交线为圆周。

我们将此圆周垂直投影就得了偏振椭圆。

q的黎曼球面仍然描述了光子偏振态的总体，但是q的平方根为之提供了空间现实。

怎么直观地理解这步“开平方”？你想象在球面中心切一刀，一刀切过标着p的那个点。

那个切面和球面的交界是个圆。

现在，你把这个圆圈像手电筒打光一样，垂直投影到地面上，这个圆圈就变成了椭圆！没错！q的抽象世界，被它的平方根p，硬生生地变成了现实中实实在在的光波形状！这就叫数学的降维打击！

我们可同样地将用于电子的同一个公式1/2（1+cosθ）用于计算概率，只要我们把它应用于q而不是p。

考虑一平面偏振，我们首先在一个方向上，然后在另一和它夹角ψ的方向上测量光子的偏振。

这两个方向对应于球面赤道上从中心看张角为ψ的两个p值。

因为p为q的平方根，所以q点在中心的张角为p点张角的两倍：θ=2ψ。

这样，在第一测量结果为是后第二测量结果亦为是（亦就是通过第一块偏振片的光子再通过第二块偏振片）的概率为1/2（1+cos2ψ），这正是前面断言的cos的平方ψ（可用简单的三角学知识验证）。

故事的最后，数学展现了它最完美的闭环！咱们原来算电子的公式“1/2（1+cosθ）”，在这里依然通用！但记住，得用在点q上，而不用在点p上。

这就像一个惊天大秘密被揭示出来了：为什么偏振片夹角的概率是cos²ψ？因为在黎曼球面上，那个点p张开的视角是ψ，而你给q去算视角的时候，角度会翻倍变成2ψ！所以公式算出来的结果完美等于cos²ψ！你看，微观世界那些看似随机的概率，背后竟然是被几何图形死死锁住的！这叫宿命！

结尾

回到最开始的问题：态矢量是客观的吗？答案是肯定的，尽管它不能被精确测量，但它真实地储藏着宇宙为你准备好的所有“答案信息”。

而在这种客观性下，量子力学也展现出了它极其霸道的一面：不可克隆定理。

这意味着，哪怕你穷尽所有手段，也无法在不破坏原态的情况下，复制一个未知的量子态。

如果是大脑的意识真依赖于某些量子态，那这恰恰保证了你“独一无二”的意识无法被远距传送机器完美窃取，除非对方选择了毁灭原版的你。

、

而当我们把目光转向光子时，量子世界的奇妙再次升级。

从经典的波动图像到量子的粒子图像，偏振的本质其实是用复数和几何向我们展示的绝美艺术。

通过巧妙地取 q的平方根 p，原本抽象、不可见的量子偏振态，在黎曼球面上被完美地“投影”了出来，变成了空间中的椭圆和圆。

更令人惊叹的是，那些在偏振片实验中看似毫无规律的夹角概率（cos⁡的平方ψ），在黎曼球面上居然仅仅是因为球面角度翻了一倍（θ=2ψ）所导致的必然结果！

宇宙用几何构建了物理，又用物理隐藏了密码。

态矢量虽然不能随意复制，但它赋予了微观世界不可磨灭的“客观性”。

因为有了这种客观性，我们才能在这个看似由概率组成的混沌世界里，捕捉到宇宙底层那绝对严谨、绝对唯一、且经得起两千多年数学推敲的理性之光。

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