引言

宇宙中最“不讲理”、最反直觉的物理量是什么？不是光速，不是时间，也不是引力，而是量子力学里那个叫做“自旋”的东西。

它披着“旋转”的外衣，却根本不是真的在旋转；

它明明是个静止的粒子，却自带永恒不变的角动量；

更吓人的是，只要把它转上一整圈，它居然会变成一个“负的自己”，硬生生要转两圈才能变回原样！

这个神秘属性被物理学家称为“最量子力学”的物理量，它决定了原子能不能存在，也决定了这个世界上的物质为什么不会塌成一锅粥。

那么，它到底是个什么鬼东西？为什么它这么任性，还非得用一张叫做“黎曼球面”的神奇地图来描述？别急，今天就带你把这份微观世界的“绝密档案”彻底拆开，看看这场游走在常识边缘的硬核游戏，究竟藏着什么惊人的秘密。

编者按：如果很多带符号和字母的地方看不懂，我加粗的文字是口语话的解释，可以给大家一些启发。

这仍然是一篇没什么用的知识，写给自己看的。

最近关注我的科普长文的人越来越多，我写东西会有点紧张，生怕浪费大家的时间和精力，大家要仔细辨别啊，别被别人写的东西期待太多。

我完全是因为自己心理有疑惑，才找找资料，随便写写的。

正文

量子力学中称为“自旋”的量有时被认为是所有物理量中最“量子力学”的。

这样，我们对之稍微多加注意是明智的。

什么是自旋？

别被它的名字骗了！如果把它当成咱们日常生活中那种飞速旋转的陀螺，那你从一开始就掉进坑里了。

在物理学家眼里，它其实是一个伪装成“旋转”的极其神秘的内在属性。

你可以把它理解成每个粒子的“灵魂印记”，无论你用什么办法去观测它，哪怕把它冻到绝对零度，它也依然在那里转着（虽然它并没有实物在转）。

之所以说它是最“量子力学”的，是因为它完美违背了我们从小到大对运动的直觉——它没有轨道、没有位移，却拥有实实在在、不可更改的能量和角动量，就像魔术师凭空捏出来的一样。

这是一个令人毛骨悚然的秘密：宇宙用了一种我们无法用“物理旋转”去理解的法则，在控制微观世界的基石。

它本质上是粒子旋转的度量。

“自旋”这个术语暗示某种像板球或棒球自旋的东西。

让我们回忆一下角动量的概念，正如能量和动量一样，它是守恒的。

只要物体不受摩擦力或其他的力的干扰，它的角动量就不随时间改变。

量子力学的自旋的确是如此，但是我们这里关心的单独粒子的“自旋”，而不是大量的单独粒子围绕着它们共同质心的轨道运动（这正是板球的情形）。

物理学的一个显著事实是，自然中发现的大多数粒子在这种意义下的确是在“自旋”，每种粒子都有自己固有的自旋的大小。

然而，正如下面要看到的，单独量子力学粒子的自旋有一种我们绝不能从自旋着的板球等的经验所能预料到的某种特殊的性质。

大家平时看到的板球或者棒球，它们之所以会旋转，是因为有外力（比如手挥出、棒子击打）施加给了它，让它的质量绕着中心轴转动，这叫“轨道角动量”。

但量子世界里的自旋压根不是这样！打个比方，你就算把电子往空中一扔，让它像死鱼一样一动不动，它居然依然拥有一个“自己转”的数值！这就好比你在完全没有任何风的房间里，发现一个静止的篮球却在不停地自己“扭动”。

更离谱的是，宇宙规定每个粒子的自旋大小是天生就定死的，你没法让它转快点，也没法让它转慢点。

所以，自旋根本不是微观粒子在空间里像陀螺一样“自转”，而是它们天生的、刻在骨子里的“身份密码”。

首先，对于一特殊类型的粒子，其自旋的大小总是一样的。

只有自旋的轴的方向可以（以一种我们就要讲到的非常奇怪的方式）改变。

这和板球的情形形成全然的对比，板球可依出球方式的不同具有任意大小任意方向的自旋！

想象一下，你在投掷棒球的时候，可以扔出各种转速的球，你可以随意控制它是转得快还是慢，甚至可以投出各种刁钻的角度。

但电子完全不同，不管环境怎么变，它的“转数”是永远锁死的！全宇宙所有的电子，它们的自旋大小完全一样，没有一丝一毫的差别。

那它们能变什么呢？只有自旋的“方向”能变。

但这也不是像指南针那样平滑地转动。

在量子世界，这个方向的改变竟然是瞬时的、离散的，而且只在你观测它的那一瞬间才“锁死”下来。

在这之前，它就像一个不断变化指向的幽灵，笼罩着一层令人战栗的迷雾。

对于电子、质子或中子，自旋大小总是ħ/2，刚好是玻尔原先允许的一个原子的量子化的角动量的最小正值的一般。

（我们记得这些值为0ħ，ħ，2ħ，3ħ，...)我们在这里需要基本单位的一般，而在某种意义上，ħ/2本身是更基本的单位。

只包括一些公转的粒子，而每一个粒子都不自旋的物体不允许有这个角动量值。

它只能是由自由旋为粒子自身的固有的性质而引起的（也就是说，自旋不是因为它的“部分”围绕某种中心的公转引起的）。

这里的文字极其枯燥，但背后藏着量子世界最震撼的谜团。

以前物理学家觉得，角动量必须是一档一档往上加的，比如0、1、2、3……但电子一出现，直接把底线拉低到了只有半个单位（ħ/2），这叫半整数自旋。

这意味着什么？意味着电子不是由更小的碎片绕着原子核公转产生的，它内部没有任何一部分在移动。

你没法把它拆开，也不存在什么“机芯”在转动。

它生来就是半档的，这就像是你去店里买鞋子，老板只卖半码的鞋，而且全宇宙都如此。

这个半档比整档更根本，是宇宙大爆炸时就定下的原初规则！

具有自旋为ħ/2的奇数倍（如ħ/2，3ħ/2，或5ħ/2等）的粒子称为费米子。

它在量子力学描述中呈现出非常奇怪的行径：完整的360度的旋转使态矢量回到负的态矢量，而不是回归到自身！自然界的许多粒子的确是费米子。

它们古怪的形式，对我们自身的存在是如此之关键——我们在后面还要讲到。

余下的自旋为ħ/2的偶数倍，也即是ħ的整数倍（即0，ħ，2ħ，3ħ，...)的粒子称作玻色子。

在360度的旋转下，玻色子的态矢量回归到自身，而不是它的负矢量。

这部分全篇最“吓人”的来了！宇宙把粒子分成了两大阵营：费米子（电子、质子、中子）和玻色子（光子）。

最诡异的地方在于，你把一个电子，像拧螺丝一样，扭动整整360度（也就是转一整圈），它竟然没有回到原来的状态，而是变成了“负的自己”！这是什么概念？就像你站在镜子前转了一圈，发现自己变成了一团黑影，你必须转够两圈（720度），才能变回正常人类。

而玻色子就正常得多，转一圈就完好无损。

为什么费米子要如此“矫情”？因为宇宙不允许两个费米子同时占同一个位置，正是它们这种“你们挤我我挤你”的古怪脾气，才搭起了原子，撑起了整个物质世界！

考虑一个半自旋也就是自旋值为ħ/2的粒子。

为了确定起见，假定此粒子为电子，但质子、中子甚至某种原子的情形也是一样的。

（一个粒子可以允许具有个别部分，只要它整个可以用量子力学处理，并具有定义得很好的总角动量就可以了。

）我们使电子处于静止状态，并只考虑其自旋态。

咱们现在把电子抓过来，让它定住不动。

按理说，一个静止的物体，它的状态应该很简单吧？错了！就算它完全不动，它的自旋依然像个极度害羞的“两副面孔”的矛盾体。

它不像我们平时玩的硬币只有正面反面，它在测量前是“正面”和“反面”的叠加态。

你把它逼到角落问它：“你到底朝上还是朝下？”它不仅不说，还会嘲笑你：我既是朝上，又是朝下，你能拿我怎么样？这种“二选一”的属性，就是量子系统最基本的“两态系统”。

现在量子态空间（希尔伯特空间）只有二维，所以我们可以采用只有两种状态的基。

我把这些态标成｜↑>和｜↓>。

其中｜↑>表示按右手定则垂直向上的自旋，｜↓>表示向下的自旋。

态｜↑>和态｜↓>是相互正交的，我们并将它们归一化（｜↑的平方=｜↓｜的平方=1）。

电子任何可能的自旋态都是这仅有的两个正交态｜↑>和｜↓>也就是向上和向下的态的线性叠加，譬如w｜↑>+z｜↓>。

这里看起来像天书，我来大白话翻译一下：宇宙给电子只画了两根坐标轴：一根叫“上”，一根叫“下”。

注意，这根“上下轴”不是空间里的上下，而是量子态里的两个完全相反的影子！你随手写个公式（比如80%的上加上20%的下），这就是电子那复杂且诡异的真实面貌了。

整个量子空间，就这么复杂，却只有这“向上”和“向下”两个基础。

所有那些奇妙的化学反应、金属的导电性，甚至宇宙的稳定性，都只是这两个“基础形态”按照不同比例拼凑出来的结果！

关于“向上”和“向下”的方向并没有什么特别之处。

我们可以一样便利地选择在任何其他方向的自旋，譬如向右｜→>和相反的向左｜←>的态去描述。

然而，对于｜↑>和｜↓>的适当的复数比例的选取，我们发现：

｜→>=｜↑>+｜↓> 以及｜←>=｜↑>-｜↓>。

这为我们提供了新的视角：任何电子的自旋态都是两正交态｜→>和｜←>也就是向右和向左的态的线性叠加。

我们可以另外选择完全任意的方向，譬如态矢量｜↗>指定的方向。

这又是｜↑>和｜↓> 的某种复现性叠加，譬如：

｜↗>=w｜↑>+z｜↓>，

而每一个自旋态为此态和与它正交的态｜↖> 的线性叠加。

（注意，在希尔伯特空间中的“正交”的概念不需要对应用于通常空间的“直角”。

此处的正交的希尔伯特空间矢量对应于空间的相反方向，而不是两个方向成直角。

）

这简直是个惊天骗局！你以为你测出了一个“朝右”的电子，其实它根本不是在朝右！它是由一个“朝上”和一个“朝下”按照1比1混合出来的。

你换个方向去测，比如斜上方45度，它同样还是“上”和“下”的组合！这里有一个特别反直觉的点：在量子世界里，所谓的“完全相反”，并不是空间里成90度或180度，而是像硬币的正反面一样，完全对立。

因为这种诡异的数学关系，导致你不管怎么转那个测量仪器的角度，电子都能给你拼出一个相应方向的“假象”来。

它像个千面人，你用哪把尺子量它，它就能完美契合哪把尺子！

什么是｜↗>在空间中所决定的方向和两个复数W和Z的几何关系呢？由于｜↗>给出的物理态并不是因为被用任何非零复数去乘它而改变，所以只有Z和W的比才有意义。

将这个比写作：

q=z/w。

q只是某个复数，除了为了和w=0的情形相一致而“q=∞”，也就是当自旋方向垂直向下也是允许的以外。

除了q=∞以外，我们总能用q代表复平面上的一点，正如我们在第3章所做的。

我们可以想象复平面水平地处于空间中，按上面的描述实轴的方向“向右”（亦即在自旋态｜→>的方向上）。

想象一个中心在复平面原点上的单位球面，这样点1，i，-1，-i都在球面的赤道上。

我们将南极上的点设定为∞，然后从该点开始投影，这样整个复平面都被映射到球面上。

任何复平面上的点q都对应于球面上唯一的一点q，它可通过作过复平面上的q点与南极点这两点的直线而得到。

这种对应称为球极平面投影。

它具有美丽的几何性质（亦即它可将圆域保角映射成圆域）。

该投影使我们可用复数和∞在一起，也就是可能存在的复比q的集合，来标记球面上的每一点。

以这种特殊方式标记的球面称作黎曼球面。

这是数学最疯狂的地方！电子不仅有“量”，还有“相位”（一个代表旋转角度的复数）。

如果我们直接把这个复杂的复数画在平面上，它会画到无穷远去，根本看不清楚。

于是，数学家想出了一个疯狂的办法：把一个无限大的平面，像捏饺子皮一样，全部贴到一个球面上，并且把平面的无穷远点直接扎到球的最底部！这个完美的数学操作叫做“球极平面投影”。

这就像是你在玩一个三维拼图，把原本二维的、说不清道不明的小方块，全团成了球体上点点对应的坐标。

有了这个球，隐藏在电子那堆可怕复数里的秘密，就全被暴露在光天化日之下了！

黎曼球面对于电子自旋态的意义在于，态｜↗>=w｜↑>+z｜↓>的自旋方向和由从中心到黎曼球面上标记有q=z/w点的实际方向一致。

我们注意到，北极对应于态｜→>，它是z=0，也就是标记作q=0，而南极为｜↑>，标记作w=0亦即q=∞。

最右的点标记着q=1，它提供｜→>=｜↑>+｜↓>，而最左的点q=-1提供了｜←>=｜↑>-｜↓>。

绕过球面最远的点标作q=i，相应于态｜↑>+i｜↓>，其自旋的方向直接离开我们，而最近的点为q=-i，对应于｜↑>-i｜↓>，其自旋直接指向我们。

而一般的标记为q的点对应于｜↑>+q｜↓>。

现在，奇迹出现了！这个球面上的每一个点，都直接对应着电子在三维空间中的一个真实旋转方向！你知道这有多惊人吗？你以为你只是在画数学图表，结果你画出来的竟然是一个真实的物理指南针！球的最顶端（北极）对应着“纯向上”的态，球的最底端（南极）对应着“纯向下”的态，而赤道上的点对应着各个方向的水平自旋。

换句话说，这个黎曼球面就是微观粒子的“全息地图”。

只要看到电子在数学公式里是处于什么比例，你在这张球面地图上就能直接拿手指戳一下，指出它在现实空间中到底是朝哪儿转的！

所有这一切和人们要进行的电子自旋的测量有什么关系呢？在空间选取某一个方向；

我们称为a。

如果我们在此方向测量电子自旋，答案为是表明电子（现在）的确以右手定则为a方向自旋，而非表明自旋的方向和a相反。

假定答案为是，那么我们将此结果的态标记为｜α>。

如果我们简单重复此测量，利用和前面完全同样的方向a，则我们的答案应该又是百分之百的概率为是。

但是如果在第二次测量时我们改变方向，改到一个新的β方向，则会发现答案为是的跃迁到态｜β>上去的概率小了。

还有答案为非的跃迁到β相反方向的态上去的概率。

如何计算出概率呢？答案是在上节结尾处的方案中。

第二次测量为是的概率为：

1/2（1+cosθ），

这里的θ是两个方向α，β之间的夹角。

相应地，第二次测量为非的概率为：

1/2（1-cosθ）。

我们要动手测它了！如果你用一个仪器去测电子，一旦“啪”地测出它是向上的，它就会像被施了定身咒一样，从此乖乖保持向上的姿势。

这就是著名的“量子坍缩”。

但你如果学坏，测完一次后，偏要把仪器歪个角度再测它，那它就会被迫算出一道数学题：概率是多少！这完全是一个数学公式定死的，不是你运气好就能蒙对。

这个公式的奇妙之处在于：它不仅包含了方向，还包含了它们之间那要命的“夹角”。

你可以这么理解：电子在第一次测量面前是个“铁憨憨”，在第二次不同角度的测量面前，就变成了一个靠掷骰子（而且是按数学规律掷骰子）来回答问题的赌徒！

我们从这里能看到，如果第二次测量是在第一次夹角直角的情况，则两种结果的概率都为百分之五十（cos 90度=0）：第二次测量的结果完全是随机的！如果两次测量的夹角为锐角，则答案为是的可能性比非要更大。

如果为钝角，则为非的概率为百分之百；

也就是说，第二次测量的结果一定是和第一次相反。

这里终于暴露了量子世界最让人抓狂的一面！你上一次刚测完它是“向上”，现在只要把仪器旋转90度（也就是横向测量它），它就会彻底摆烂，变成完全不讲道理的状态：一半概率说自己是“右”，一半概率说自己是“左”，完全随机！你测多少次都这样，连上帝都在掷骰子！但是，如果你狠一点，把仪器倒转180度去测它，结果瞬间变得极其有规律：百分之百相反！也就是你一定会测出它是“向下”的！这就像是一个极其乖戾的情报员，你用正眼看它，它就老实交代；

你用测谎仪（90度）看它，它就开始胡说八道；

你用后脑勺（180度）看它，它反而把底牌全亮出来了！

黎曼球面实际上对于任何双态的量子系统，在描述一系列可能的量子态（准确到一个比例系数）时起着基本的（但时未被广泛认识到的）作用。

对于半自旋的粒子，它的几何作用特别明显，因为球面上的点对应于自旋轴的可能的空间方向。

在其他很多情形，难以看到黎曼球面的作用。

考虑刚刚通过双缝隙，或从半镀银镜子反射回来的光子。

光子态为某个描述两个完全不同位置的双态｜ψt>+｜ψb>的诸如｜ψt>+｜ψb>，｜ψt>-｜ψb>，或｜ψt>+i｜ψb>等的线性组合。

这里告诉你一个惊天的内幕：这个神奇的黎曼球面，压根就不是电子的专属！它是整个宇宙通用的终极逻辑密码！不管是任何“非此即彼”的系统，比如一个光子只能穿过左边缝或者右边缝，它们都可以被“装”进这个球面里。

只不过在电子的世界里，球面上的点代表的是空间方向；

而在光子的世界里，球面上的点代表的是它的“位置组合”。

它就像一个万能容器，任何量子系统那些乱七八糟的叠加状态，在这个球面上都能找到自己专属的落脚点。

如果你掌握了这张图，你就有了一张进入微观世界的万能交通图！

黎曼球面仍然描述物理上一系列不同的可能性，但现在仅仅是抽象地。

态｜ψt>由北极（"顶“），｜ψb>由南极（“底”）分别代表。

而｜ψt>+｜ψb>，｜ψt>-｜ψb>，或｜ψt>+i｜ψb>由赤道上的不同的点代表。

一般地，w｜ψt>+｜ψb>为点q=z/w所代表。

在很多情况下，正像这个粒子，“黎曼球面可能的价值”相当隐蔽，和空间几何没有明显的关系。

当你把黎曼球面用到光子身上时，一种诡异感扑面而来：原来球面上的北极、南极和赤道，已经不表示空间方位了，它们变成了纯纯的“数字代号”！比如北极代表“光子走上面那条路”，南极代表“光子走下面那条路”。

这就像把你的实体地图变成了一个抽象的游戏关卡图。

这让很多物理学家都非常头大，因为这个球面明明长得很像我们居住的宇宙空间，却在形容一个完全不是空间的物理现象。

它隐藏在数学公式的最深处，像一只只看不见的手，操控着宇宙万物的可能性，而正是这种隐蔽性，让它成了量子力学中最华丽、也最实用的“幽灵工具”。

结尾

看到这里，你大概能明白为什么“自旋”被称为最量子力学的物理量了。

它完全颠覆了我们日常生活的经验——它不依靠任何物质部件的公转产生，它是一个纯粹的、内在的、刻在粒子骨子里的“灵魂印记”；

它把宇宙中的粒子残忍地分成了“转一圈就变负”的费米子，和“转一圈就复原”的玻色子；

它让每次测量都变成一场概率游戏，甚至用那个无限大的平面卷成的“黎曼球面”，偷偷掌控着所有量子系统的底层规律。

最可怕的是，这种看似诡异到极点、甚至有些神经质的性质，并非微观世界的无用花招。

正是由于电子的“半整数自旋”，才迫使它们在原子核外一层层地排队，从而形成了物理化学性质各不相同的原子，最终才有了我们现在所看到的缤纷万物和你我。

没有这种“傲娇”的规则，整个宇宙只会在引力下坍缩成一锅浓浓的粒子汤。

古希腊人曾用哲学追问世界的本质，而现在的我们，却靠着这张“黎曼球面地图”，摸到了宇宙底层规则的最幽深处。

下一次，当你再看到电子或是光子在实验里“耍无赖”时，不妨在心里默默感谢一下那个创造了这个古怪自旋的造物主，它虽然剥夺了我们直观理解微观世界的权利，却用数学和几何向我们展示了另一种绝对理性的浪漫。

（为什么要了解自旋，上图）

声明：本文内容仅代表作者个人观点，与本站立场无关。

如有内容侵犯您的合法权益，请及时与我们联系，我们将第一时间安排处理。