什么是熵？

有一个有趣的故事。

香农在给信息熵命名时曾考虑把它叫作“信息”（information）或“不确定性”（uncertainty），后来在和冯·诺依曼讨论时，冯·诺依曼对香农说：“你应该把它叫作‘熵’（entropy），原因有两个：首先，“不确定性函数”在统计力学中已经被使用了，所以它已经有了一个现成的名称；

其次，也是更重要的一点，没有人真正知道熵到底是什么，所以在争论中，你总会占据优势。

”

虽然“没有人真正知道熵到底是什么”，我们还是要尝试去理解一番。

根据热力学第二定律，宇宙的熵总是在增多。

熵在某种意义上可以作为区分“过去与未来”的度量，或者说，熵增对应着一种“不可逆性”。

例如泼出去的水无法自行收回，摔碎的玻璃在不消耗额外能量的情况下难以复原。

这类过程都具有明显的单向性——系统从有序走向无序。

什么是无序？无序并不是单纯的“混乱”，而是“微观可能排列状态数”的增多，也就是“自由度”增多。

从微观角度看，无序意味着分子的排列状态转变为另一种可能性更高的排列状态。

自由度增多意味着能量分配更“分散”。

这也是为什么在判断“自发过程”时，我们不能只依据能量守恒定律来判断一个进程能否发生——“总能量”与“可用能量”之间存在着明显的区别。

因此所谓“熵增”，也可以看作是“不可利用的能量的增加”。

当我们在探讨热力学中的度量变化时，一个重要的前提是：划定系统。

热力学中的“系统”是根据想要解决的问题而人为选择的研究对象。

系统的边界可以是真实存在的，也可以是假想的，边界的作用是为了将系统与周围环境区分开来。

一个系统可以是一个生物细胞，对应的边界就是细胞膜；

对于一台蒸汽机，系统则可以定义为活塞内部的空间。

假如长期孤立一个系统，随着时间的推移，系统内的“能量分布”会趋于均匀，最终系统内再无可用能量。

比如在孤立绝热系统中，放入一块烧红的铁块和一块常温铁块，随着时间的推移，两块铁的温度最终将相等并不再发生改变。

温度相等并不代表总能量相等，只表示能量分布相等——从两种物质中获取能量的难易程度相同。

在目前这个阶段你可能不理解什么是“可能排列状态”等等名词，但是没关系，我们会从宏观热力学出发，逐步进入统计力学的微观世界，探究”熵“究竟是如何从分子的运动和概率中产生的。

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宏观热力学

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19世纪初，研究蒸汽机效率的问题推动了热力学的发展。

热力学最基础的问题是：一个系统内的能量如何变化？热力学第一定律建立了”能量守恒“的框架，并引入了”内能“(U)：系统内部所有微观粒子能量的总和。

第一定律告诉我们，能量不会凭空消失或产生，只会在系统与环境之间转移。

能量转移的方式有两种：做功(w)和热传递(q)，因此热力学第一定律的公式形式为ΔU=q+w。

在化学实验中，大多数反应是在恒压条件（大气压）下进行的，当反应过程中产生气体或发生体积变化时，系统对环境做膨胀功，部分能量”穿越“了边界。

因此，为了方便描述恒压条件下一个化学反应总体吸收或释放了多少热量，热力学引入了焓 (H)。

在恒压条件下，系统只做体积功时，焓变 ΔH等于系统吸收或释放的热量。

对于固体和液体，由于体积变化很小，膨胀功（pΔV） 可以忽略，因此 ΔH≈ΔU，即体系吸收或释放的热量主要反映在系统内能的变化。

焓的作用在于，把实验中难以直接测量的“能量变化”转化成容易测量的“热量变化”。

第一定律定义了能量的”量“，第二定律则关注能量的”质“；

第一定律定义的对象是”系统“，第二定律定义的对象是”宇宙“（系统与环境）。

引入第二定律是为了找到存在”自发变化“的原因；

如果我们能够找到“能量分散趋势”的规律，就能够解释为什么某些过程会自发发生，并预测自然变化的方向。

热力学第二定律有两种表达方式。

Kelvin–Planck（开尔文-普朗克）：在一个循环系统中，从热库吸收热量，并将这些热量完全转化为功是不可能的——即无法制造一个 100% 做功效率的热机。

Clausius(克劳修斯)：热量不可能自发地从低温物体传递到高温物体。

例如，冰箱可以将热量从低温区域转移到高温环境，但这一过程必须消耗外界的输入功。

卡诺循环—Clausius不等式

1824年，法国工程师卡诺（Carnot）在计算热机效率时提出了一个理想化热机模型：卡诺循环（Carnot cycle），在这个模型中每一段路径都是”可逆过程“。

以理想气体为例（理想气体的内能只与温度相关）：

在卡诺的理论基础上，克劳修斯（Clausius）和开尔文（Kelvin）进一步证明了可逆卡诺热机的效率只取决于两个热源的温度（T1，T2）。

在研究卡诺循环中的热量交换关系时，克劳修斯发现，系统为可逆循环时dS的积分为零，这意味着热量与温度比值的积分只与系统的初始和最终状态有关，与具体的路径无关。

也就是说熵（S）是“状态函数”。

对于实际发生的不可逆循环，系统的dS积分小于零。

由此得到著名的克劳修斯不等式（Clausius inequality）：

根据”熵是状态函数“这一特性，在处理一个真实的不可逆过程时，我们可以设计一条连接相同初态和终态的假想可逆路径，利用可逆过程计算不可逆过程熵的改变。

例：1→2为孤立系统中发生的自发反应（不可逆），2→1为假想可逆路径（开放系统）。

根据克劳修斯不等式，整体循环的q/T积分＜0。

由上述例子得出结论：对于孤立系统，自发过程使系统的总熵增加；

如果我们将宇宙整体看作一个孤立系统，那么宇宙总熵总是随时间增加——这就是热力学第二定律在宇宙尺度上的体现。

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微观统计力学

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宏观热力学告诉我们熵如何变化，但没能解释熵为什么会如此变化。

要理解熵的本质，必须从宏观进入微观粒子的世界，连接宏观与微观的桥梁就是温度。

温度

理想气体的平均动能公式告诉我们：一个气体分子的平均动能只由温度决定，与气体的种类、分子的质量无关。

kB：玻尔兹曼常数，kB=1.38×10−23J/K；

表示单个微观粒子的能量尺度与温度之间的关系。

在一定温度下，系统内的所有分子并不会保持相同的速度和能量，每个分子会在不同的时刻处于不同的能量状态。

分子持续不断的热运动使其通过相互碰撞交换能量，因此，温度的本质之一就是让能量在大量微观状态之间重新分配。

最终在热平衡状态下，系统内整体的分子速度和能量呈现出稳定的概率分布。

用于描述气体分子速度分布的数学模型，就是麦克斯韦–玻尔兹曼分布（Maxwell–Boltzmann distribution）。

如果将一个系统内的所有分子都做上不同的标记，我们就会发现即使在同一温度下，单个分子的具体位置、运动速度以及能量状态仍然会随着时间不断变化。

宏观观测量（温度、压强等）并未改变，而微观分子排列状态一直在变化，这种某一宏观状态所对应的可能的“微观状态”数量（W）就是微观统计力学的研究对象。

因此从统计力学的角度来看，熵并不是简单描述系统“混乱”的程度，而是描述一个宏观状态能够通过多少种不同微观方式实现。

基于这一思想，玻尔兹曼提出了著名的熵公式：S=kBlnW（kB：玻尔兹曼常数）。

玻尔兹曼熵公式

理解玻尔兹曼熵公式，要从概率开始。

以掷骰子为例，假设一个有 t 个面的骰子，投掷N次。

不考虑相同点数出现的顺序，只考虑每种点数出现了多少次，那么可能的结果有多少种（W）？

计算分子微观排列数量的方法与掷骰子问题的数学结构相同。

N表示系统中分子的数量，每个分子可以处于 (t) 种可能的微观状态（例如不同的能级、速度状态等），处于某一种状态(i)的分子数量为 (ni)，随机选取一个分子，它处于状态i的概率为Pi，满足该宏观状态的分子微观排列数量为W。

将两边取对数后并除以N，等式右边正是香农信息熵公式，在这个物理背景下表示单个粒子的平均信息熵。

香农熵描述的是单个粒子状态的平均不确定性，热力学的熵则描述整个宏观系统包含的微观状态数量。

一个宏观状态包含的微观排列数量越多（W 越大），意味着系统能够实现该状态的方式越多。

因此在孤立系统中，系统会自发演化到具有最大 W 的宏观状态，即热力学平衡态。

因此，玻尔兹曼提出熵的微观统计学公式：S=KBlnW；

S：宏观热力学熵；

W：该宏观状态对应的微观排列数量；

KB：玻尔兹曼常数，用于将微观尺度转换到宏观热力学尺度。

根据玻尔兹曼熵公式，热力学第二定律可以重新解释为：孤立系统会自发演化到具有最大微观排列数量的宏观状态——即“最大熵原理”。

假设有一个用隔板将体积平均分为两半的盒子（孤立系统），最初只有左侧充满气体（分子数为N），移除隔板后气体会如何分布？根据实际经验很容易就能猜到气体最终会均匀的分布在整个盒子中，但是我们现在可以用微观概率解释为什么气体倾向于分布“更均匀”。

在这个例子中，每个分子的“排列状态”只有两种，位于左边/右边;设一个分子位于左侧的概率为P,位于右侧的概率则为1-P。

利用上面的信息熵公式求极值，可以得到W最大时P的值：

即，在平衡态下每个分子出现在左右两侧的概率相等，在宏观状态下表现为“均匀分布”，此时微观排列数 W最大，对应的系统的熵S也最大。

值得注意的是，孤立系统之所以会自发趋向热平衡，并不是因为微观粒子的运动本身具有某种时间方向性——单个粒子的运动规律仍然满足基本物理定律的可逆性。

而是因为高熵状态对应着更多的微观排列方式，出现的概率更高。

利用最大熵原理，我们可以在给定宏观约束条件下，推导微观粒子的统计规律。

例如，在粒子数、体积和总能量等条件确定的情况下，基于最大熵原理推导出麦克斯韦–玻尔兹曼分布（Maxwell–Boltzmann distribution），从而描述气体分子速度和能量的概率分布。

然而，现实中的许多热力学过程并不是发生在完全孤立的系统中，而是在能够与环境交换能量的条件下进行。

例如化学反应、生物代谢以及蛋白质折叠，都涉及体系与周围环境之间的能量交换。

对于这类体系，仅仅考虑体系自身的熵变化并不能直接判断过程是否能够自发发生，需要将能量变化与熵变化结合起来描述体系的自发性。

因此，结合热力学第一定律和第二定律，吉布斯构造了一个新的状态函数——吉布斯自由能：G=H−TS；

在恒温恒压条件下，体系会自发向自由能降低的方向变化（ΔG＜0），当体系达到平衡状态时，吉布斯自由能达到最低值（ΔG=0）。

#宏观热力学部分的公式推导省略是因为，我觉得要理清推导逻辑必须先要理解物理概念的内涵，这在短篇内无法完成；

但是微观统计学的公式推导更倾向于数学逻辑，所以即使暂时不了解物理背景，也可以沿着数学逻辑完成推导。

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生命体的“逆熵”

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与无生命系统趋向于热平衡和无序化不同，生命体能够不断形成并维持高度有序的结构，这似乎违背了“熵增”定律。

原因在于生命体是远离平衡态的开放系统，通过持续吸收外界能量驱动体内的“低熵”程序，同时将更多的熵“释放”到环境中，使环境熵增加。

生命通过增加宇宙整体的“无序性”来维持自身局部的“有序”。

以蛋白质折叠为例，未折叠的蛋白质处于高熵状态。

展开的肽链像一根随机卷曲的线，组成骨架的许多化学键可以发生旋转，因此能够形成大量不同的空间排列，这意味着未折叠蛋白质具有较高的构象熵（conformational entropy）。

肽链从高自由度的未折叠状态自发形成稳定的三维结构，使蛋白质本身失去了大量构象熵，这部分熵的损失必须通过增加环境熵来补偿。

环境熵主要来源于两个方面：折叠过程释放的热量以及疏水效应。

首先，在蛋白质折叠过程中，氨基酸侧链之间会形成大量非共价键（例如氢键、范德华力以及静电作用），这些相互作用使折叠后的蛋白质处于较低自由能的状态，降低的势能以热的形式释放到周围环境中，从而使环境熵增加。

蛋白质折叠更重要的驱动力来自疏水效应。

蛋白质通常存在于充满水分子的环境中，当疏水性氨基酸暴露在环境中时，周围水分子无法与其形成稳定的相互作用，为了减少与疏水表面的接触，水分子重新排列形成较为规则的结构。

这种排列限制了水分子的活动自由度，使水的微观状态数量减少。

当蛋白质开始折叠，疏水性氨基酸被包裹到蛋白质内部，原本受到限制的水分子重新恢复自由的运动状态，因此水分子的微观状态数增加，环境熵随之增加。

热力学能够预测“反应能否发生”，但是无法解释反应发生的过程以及达到平衡所需的时间。

Levinthal 悖论提出：如果蛋白质需要随机尝试所有可能的构象，由于可选择的构象数量极其庞大，完成折叠所需的时间远远超过宇宙存在的时间。

然而，现实中的蛋白质却能够在毫秒甚至微秒尺度内完成折叠。

那么蛋白质是如何准确找到自己的折叠方式的呢？

能量景观理论（energy landscape theory） 提供了一种解释方式：蛋白质并不是随机探索所有可能的构象，而是在热力学和动力学共同作用下，沿着整体自由能降低的方向逐渐折叠。

这个过程类似一个沿着山谷向下gundong的球：球不需要遍历整座山，而是在地形引导下逐渐趋向最低点。

值得注意的是，同一种蛋白质的不同分子并不一定经过完全相同的折叠路径。

由于能量景观中存在多条可能下降路径，不同分子可以经过不同的微观轨迹，但最终都会汇聚到同一个最低自由能状态，即稳定的天然构象。

蛋白质结构问题长期以来一直是生物物理学中的核心挑战。

传统方法主要依赖实验手段，例如X射线晶体学、冷冻电镜以及核磁共振技术确定蛋白质结构。

随着人工智能和机器学习的发展，蛋白质结构预测取得了突破性进展。

例如AlphaFold利用大量已知蛋白质的序列与结构数据，通过深度学习方法学习氨基酸序列与三维结构之间的关系，从而根据单链序列精度预测未知的蛋白质三维结构。

然而，结构预测只是理解蛋白质功能的第一步。

蛋白质真正复杂之处在于理解其动态行为：蛋白质折叠的中间状态以及如何通过构象变化实现功能；

最为关键的是，处于生命环境中的蛋白质与其他分子之间的”交互作用“比人工模拟环境复杂得多。

因此，“预测一个蛋白质的结构”并不等同于“理解一个蛋白质的功能”，“从结构到功能”仍然是尚未解决的难题。

从物理学基本定律到数学统计学模型再到生命科学，每一个环节都提供了一种理解世界的方式。

我们无法通过已知的几个基本物理学定律对任何事物产生大量的认知，因为物理定律是局部的，而宇宙是大量物理定律共同作用而导致的复杂且偶然的结果。

基础物理定律可以在基础层级上为人类提供认识世界的框架和思考的方向，但在实际经验中物理定律并不能精确地解释所有事件。

科学划分为数学物理化学生物医学心理历史人文社科等不同层级，试图从单一的方向解释整个宇宙，无论是将一切还原为基本粒子的运动，或是忽视底层规律而只研究宏观现象，都会限制我们对世界的理解。

水平有限，欢迎指正

参考内容：

1.Atkins’ Physical Chemistry ;Peter Atkins, Julio de Paula, James Keeler;Oxford University Press

2.Molecular Driving Forces: Statistical Thermodynamics in Biology,Chemistry,Physics,and Nanoscience; Ken A. Dill, Sarina Bromberg;Garland Science Press

3.The Protein-Folding Problem, 50 Years On;Ken A. Dill, Justin L. MacCallum;DOI: 10.1126/science.1219021

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